Question

10．己知拋物線若y²=2px過點P（1，2）．
（1）求實數p的值；
（2）若直線若l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），兩點，且y₁y₂=-4，求證直線l過定點并求出該點的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線若y²=2px過點P（1，2），代入計算，可得結論；
（2）設AB：x=my+b，代入拋物線方程，運用韋達定理，結合條件，可得b=1，即可得到定點（1，0）．

解答 （1）解：∵拋物線若y²=2px過點P（1，2），
∴4=2p，
∴p=2；
（2）證明設AB：x=my+b，
代入拋物線方程y²=4x，可得y²-4my-4b=0，
y₁y₂=-4b，又y₁y₂=-4，
即有b=1，
即有x=my+1，
則直線AB恒過定點（1，0）．

點評 本題考查拋物線的方程的運用，考查直線方程和拋物線方程聯立，運用韋達定理，以及直線恒過定點的求法，屬于中檔題．