Question

5．求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程：
（1）焦點坐標為（$\sqrt{2}$，0），準線方程為x=$±2\sqrt{2}$的橢圓；
（2）過點（$\sqrt{2}$，2），漸近線方程為y=±2x的雙曲線．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由c=$\sqrt{2}$，x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$=$±2\sqrt{2}$，求得a²=4，b²=a²-c²=2，即可求得橢圓的標準方程；
（2）由雙曲線漸近線方程為y=±2x，設(shè)雙曲線的方程為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=λ$（λ≠0），將點（$\sqrt{2}$，2）代入雙曲線方程，即可求得λ的值，即可求得雙曲線方程．

解答 解：（1）由焦點坐標為（$\sqrt{2}$，0），可知橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
則c=$\sqrt{2}$，由橢圓的準線方程為：x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$=$±2\sqrt{2}$，即a²=4，
由b²=a²-c²=4-2=2，
故橢圓的標準的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由雙曲線漸近線方程為y=±2x，則設(shè)雙曲線的方程為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=λ$（λ≠0），
由雙曲線經(jīng)過點（$\sqrt{2}$，2），代入可得：2-$\frac{{2}^{2}}{4}$=λ，解得：λ=1，
雙曲線的方程為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴雙曲線的標準方程方程為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點評 本題考查橢圓及雙曲線的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查曲線方程的求法，考查待定系數(shù)法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．