Question

18．已知函數$f（x）=\frac{{a{x^2}+1}}{bx+c}$，且f（1）=2，f（2）=3．
（I）若f（x）是偶函數，求出f（x）的解析式；
（II）若f（x）是奇函數，求出f（x）的解析式；
（III）在（II）的條件下，證明f（x）在區間$（0，\frac{1}{2}）$上單調遞減．

Answer 1

分析 （I）根據f（x）是偶函數，可得f（-x）=f（x），那么有 f（-1）=f（1）=2，可求a，b，c的值．可得解析式
（II）根據f（x）是奇函數，可得f（-x）=-f（x），那么有 f（-1）=-f（1）=-2，可求a，b，c的值．可得解析式
（III）定義法證明其單調性．

解答 解：（I）函數$f（x）=\frac{{a{x^2}+1}}{bx+c}$，且f（x）是偶函數，f（1）=2，f（2）=3．
則有 f（-1）=f（1）=2，
那么：那么：$\left\{\begin{array}{l}{2=\frac{a+1}{b+c}}\\{2=\frac{a+1}{-b+c}}\\{3=\frac{4a+1}{2b+c}}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{4}{5}$，b=0，c=$\frac{3}{5}$．
∴f（x）的解析式為f（x）=$\frac{\frac{4}{5}{x}^{2}+1}{\frac{3}{5}}$=$\frac{4{x}^{2}+5}{3}$
（II）f（x）是奇函數，可得f（-x）=-f（x），則有 f（-1）=-f（1）=-2，
那么：$\left\{\begin{array}{l}{2=\frac{a+1}{b+c}}\\{-2=\frac{a+1}{-b+c}}\\{3=\frac{4a+1}{2b+c}}\end{array}\right.$，解得：a=2，b=$\frac{3}{2}$，c=0．
∴f（x）的解析式為f（x）=$\frac{4{x}^{2}+2}{3x}$．
（III）由（II）可得f（x）=$\frac{4{x}^{2}+2}{3x}$．
設$0＜{x}_{1}＜{x}_{2}＜\frac{1}{2}$，
那么：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{4{{x}_{1}}^{2}+2}{3{x}_{1}}-\frac{4{{x}_{2}}^{2}+2}{3{x}_{2}}$=$\frac{12{{x}_{1}x}_{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）-6（{x}_{1}-{x}_{2}）}{9{x}_{2}{x}_{1}}$=$\frac{（4{{x}_{1}x}_{2}-2）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{3{x}_{1}{x}_{2}}$
∵${x}_{1}＜\frac{1}{2}，{x}_{2}＜\frac{1}{2}$，
∴${x}_{2}{x}_{1}＜\frac{1}{2}$，
4x₁x₂-2＜0．
故：f（x₁）-f（x₂）＞0．
所以f（x）在區間$（0，\frac{1}{2}）$上單調遞減．

點評 本題考查了函數的奇偶性的性質的運用和定義證明單調性問題．屬于基礎題．