Question

7．從某居民區隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入x_i（單位：千元）與月儲蓄y_i（單位：千元）的數據資料，算得$\sum_{i=1}^{10}{x_i}=80$，$\sum_{i=1}^{10}{y_i}=20$，$\sum_{i=1}^{10}{{x_i}{y_i}}=184$，$\sum_{i=1}^{10}{x_i^2}=720$．
（Ⅰ）求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；
（Ⅲ）若該居民區某家庭月收入為12千元，預測該家庭的月儲蓄．
附：線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}y{\;}_i^{\;}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．其中$\overline x$，$\overline y$為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫出回歸方程；
（Ⅱ）由回歸系數$\stackrel{∧}{b}$＞0，判斷是正相關；
（Ⅲ）計算x=12時$\stackrel{∧}{y}$的值，即可預測該家庭的月儲蓄．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，n=10，$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$×80=8，$\overline{y}$=$\frac{1}{10}$×20=2，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{184-10×8×2}{720-10{×8}^{2}}$=0.3，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=2-0.3×8=-0.4，
∴回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.3x-0.4；…（4分）
（Ⅱ）由于回歸系數$\stackrel{∧}{b}$=0.3＞0，
∴變量y與x之間是正相關；…（6分）
（Ⅲ））x=12時，$\stackrel{∧}{y}$=0.3×12-0.4=3.2（千元），
即某家庭月收入為12千元時，預測該家庭的月儲蓄是3.2千元．

點評 本題考查線性回歸方程的求解及應用，屬基礎題．