Question

6．若圓x²+（y-2）²=1與橢圓$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{n}$=1的三個交點構成等邊三角形，則該橢圓的離心率的值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可知：圓x²+（y-2）²=1圓心為（0，2），半徑為1，橢圓$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{n}$=1的焦點在y軸上，則A（3，0），則$\sqrt{n}$=3，則n=9，由等邊三角形ABC為圓x²+（y-2）²=1的內接正三角形，AC=BC=AB=$\sqrt{3}$，求得DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\frac{3}{2}$，即可求得C點坐標，代入即可求得橢圓方程，即可求得橢圓的離心率的值．

解答 解：圓x²+（y-2）²=1圓心為（0，2），半徑為1，
則A（3，0），則橢圓$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{n}$=1焦點在y軸上，
即$\sqrt{n}$=3，則n=9，
等邊三角形ABC為圓x²+（y-2）²=1的內接正三角形，
則AC=BC=AB=$\sqrt{3}$，
∴DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\frac{3}{2}$，
∴OD=OA-AD=$\frac{3}{2}$
∴C點坐標為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，解得：m=1，
∴橢圓方程：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
即a=3，b=1，c=2$\sqrt{2}$，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程的求法及簡單幾何性質，考查圓的內接正三角的性質，考查數形結合思想，屬于中檔題．