Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₅=30，又a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若對(duì)任意n＞t，n∈N^•，都有

1

S1+a1+2

+

1

S2+a2+2

+…+

1

Sn+an+2

＞

12

25

，求t的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列列方程組求出首項(xiàng)和公差，則S_n可求；
（Ⅱ）把a(bǔ)_n，S_n代入

1

Sn+an+2

，整理后列項(xiàng)，求和后得到使

1

S1+a1+2

+

1

S2+a2+2

+…+

1

Sn+an+2

＞

12

25

成立的t的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)公差為d，由條件得

5a1+ 5×4 2 d=30 (a1+2d)2=a1(a1+8d)

，得a₁=d=2．
∴a_n=2n，
Sn=2n+

n(n-1)×2

2

=n2+n；
（Ⅱ）∵

1

Sn+an+2

=

1

n2+n+2n+2

=

1

n2+3n+2

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．
∴

1

S1+a1+2

+

1

S2+a2+2

+…+

1

Sn+an+2

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

n+2

＞

12

25

．
∴

1

n+2

＜

1

2

-

12

25

=

1

50

，
即：n+2＞50，n＞48．
∴t的最小值為48．

點(diǎn)評(píng)：題是數(shù)列與不等式綜合題，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．