Question

已知函數f（x）=sin（

π

6

-x）cos（

π

3

-x）-sinxcosx+

1

4

．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調減區間；
（Ⅱ） 若

2

f（

x

2

）=-

15

4

，且x∈（-

3π

2

，-

5

4

π），求sin（x+

π

12

）值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ） 利用和差角公式，降次升角公式，化簡函數解析式為余弦型函數，結合ω=2，可得函數f（x）的最小正周期，進而根據余弦函數的單調性得到函數f（x）的減區間；
（Ⅱ） 若

2

f（

x

2

）=-

15

4

，且x∈（-

3π

2

，-

5

4

π），可得cos(x+

π

4

)=-

15

4

，利用平方關系求出sin(x+

π

4

)=

1

4

，進而根據sin(x+

π

12

)=sin[(x+

π

4

)-

π

6

]=sin(x+

π

4

)cos

π

6

-cos(x+

π

4

)sin

π

6

得到答案．

解答： 解：（Ⅰ） f(x)=sin(

π

6

-x)cos(

π

3

-x)-sinxcosx+

1

4

=(

1

2

cosx-

3

2

sinx)(

1

2

cosx+

3

2

sinx)-

1

2

sin2x+

1

4

=

1

4

cos2x-

3

4

sin2x-

1

2

sin2x+

1

4

=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

-

1

2

sin2x+

1

4

=

1

2

(cos2x-sin2x)
=

2

2

cos(2x+

π

4

)，
∵ω=2，
∴函數f（x）的最小正周期為T=π
且f（x）的減區間滿足2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π，
解得：x∈x∈[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z，
∴函數f（x）的減區間為x∈[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z
（ II）由（1）知f(x)=

2

2

cos(2x+

π

4

)，

2

f(

x

2

)=-

15

4

得：cos(x+

π

4

)=-

15

4

由x∈(-

3π

2

，-

5π

4

)即(x+

π

4

)∈(-

5π

4

，-π)得，
∴sin(x+

π

4

)=

1

4

，
∴sin(x+

π

12

)=sin[(x+

π

4

)-

π

6

]=sin(x+

π

4

)cos

π

6

-cos(x+

π

4

)sin

π

6

=

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

3 + 15

8

點評：本題考查的知識點是三角函數中的恒等變換，三角函數的周期性及單調性，熟練掌握三角函數的圖象和性質是解答的關鍵．