Question

已知函數f（x）=-x²+ax-lnx（a∈R）．
（I）當a=3時，求函數f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）函數f（x）既有極大值又有極小值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=3代入到f（x）中，求出導函數=0時x的值為1得到函數的最大值為f（1），然后判斷f（

1

2

）和f（2）即可；
（Ⅱ）若f（x）既有極大值又有極小值，首先必須f'（x）=0有兩個不同正根，即2x²-ax+1=0有兩個不同正根，即可得到根的判別式大于0且兩根之和大于0，求出a的范圍得到必要性；然后證明充分性：由a的范圍得到f'（x）=0有兩個不等的正根，討論導函數的正負即可得到函數既有極大值又有極小值．所以得到函數既有極大值又有極小值的a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）a=3時，f′（x）=-2x+3-

1

x

=-

2x2-3x+1

x

=-

(2x-1)(x-1)

x

，
函數f（x）在區間（

1

2

，2）僅有極大值點x=1，故這個極大值點也是最大值點，
故函數在[

1

2

，2]最大值是f（1）=2，
又f（2）-f（

1

2

）=（2-ln2）-（

5

4

+ln2）=

3

4

-2ln2＜0，故f（2）＜f（

1

2

），
故函數在[

1

2

，2]上的最小值為f（2）=2-ln2．
（Ⅱ）若f（x）既有極大值又有極小值，則必須f′（x）=0有兩個不同正根x₁，x₂，即2x²-ax+1=0有兩個不同正根．
故a應滿足

△＞0 a 2 ＞0

⇒

a2-8＞0 a＞0

⇒a＞2

2

，
∴函數f（x）既有極大值又有極小值，實數a的取值范圍是a＞2

2

．

點評：考查學生會利用導數求閉區間上函數的最值，會利用導數研究函數的單調性，會求函數在某點取極值的條件．