Question

14．若函數f（x）=alnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+2bx在[1，2]上單調遞增，則a+4b的最小值是（　�。�

• A． -3
• B． -4
• C． -5
• D． $-\frac{15}{4}$

Answer 1

分析 由題意可知：求導，f′（x）=$\frac{a}{x}$+x+2b，由x在[1，2]上單調遞增，f′（x）＞0，在[1，2]恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）≥0}\\{f′（2）≥0}\end{array}\right.$，整理即可求得a+4b≥-4，求得a+4b的最小值．

解答 解：由f（x）=alnx+$\frac{1}{2}{x^2}$+2bx，（x＞0），
求導，f′（x）=$\frac{a}{x}$+x+2b，由x在[1，2]上單調遞增，
∴f′（x）＞0，在[1，2]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）≥0}\\{f′（2）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+1+2b≥0}\\{\frac{a}{2}+2+2b≥0}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{a+2b≥-1}\\{a+4b≥-4}\end{array}\right.$，
a+4b≥-4，
故a+4b的最小值-4，
故選B．

點評 本題考查對函數的求導運算，以及導函數與函數單調性的關系，考查導數的應用以及函數恒成立的應用，屬于中等題．