Question

已知函數f（x）=3cos²x+2sinxcosx+sin²x．
（1）求f（x）的最大值，并求出此時x的值；
（2）寫出f（x）的單調區間．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+2，可得f（x）的最大值和此時x的值；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

和2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

分別可解得函數的單調遞增和單調遞減區間．

解答： 解：（1）化簡可得f(x)=

3(1+cos2x)

2

+sin2x+

1-cos2x

2

=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2
∴f（x）的最大值為2+

2

，此時2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，
解得x=kπ+

π

8

，k∈Z；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

可解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

；
∴f（x）單調增區間為：[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z；
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

可解得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

∴f（x）單調減區間為：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z

點評：本題考查三角函數恒等變換，涉及三角函數的最值和單調性，屬基礎題．