Question

在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系取相同的單位長度．已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），過點P（-2，-4）的直線l的參數方程為

x=-2+ 2 t y=-4+ 2 t.

（t為參數）．直線l與曲線C分別交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比數列，求實數a的值．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：

分析：由曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），化為ρ²sin²θ=2aρcosθ，可得直角坐標方程，將直線l的參數方程化為標準形式

x=-2+ 2 2 t′ y=-4+ 2 2 t′.

(t′為參數)，代入曲線C的直角坐標方程得：

1

2

t′2-(4

2

+

2

a)t′+16+4a=0，由于直線與曲線交于兩點，可得△＞0．設交點M，N對應的參數分別為t1′，t2′．可得根與系數的關系，若|PM|、|MN|、|PN|成等比數列，可得|t1′-t2′|2=|t1′t2′|，解出即可．

解答： 解：由曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），化為ρ²sin²θ=2aρcosθ，可得直角坐標方程為y²=2ax  （a＞0），
將直線l的參數方程化為標準形式

x=-2+ 2 2 t′ y=-4+ 2 2 t′.

(t′為參數)，
代入曲線C的直角坐標方程得：

1

2

t′2-(4

2

+

2

a)t′+16+4a=0，
∵直線與曲線交于兩點，
∴△＞0，即a＞0或a＜-4．
設交點M，N對應的參數分別為t1′，t2′．
則t1′+t2′=2(4

2

+

2

a)，t1′t2′=2(16+4a)．
若|PM|、|MN|、|PN|成等比數列，
則|t1′-t2′|2=|t1′t2′|，
解得a=1或a=-4（舍）
所以滿足條件的a=1．

點評：本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、參數的應用、等比數列的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．