Question

如圖所示，在xOy平面上，點A（1，0），點B在單位圓上．∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（1）若點B（-

3

5

，

4

5

），求tan（2θ+

π

4

）的值；
（2）若

OA

+

OB

=

OC

，四邊形OACB的面積用S_四表示，求S_四+

OA

•

OC

的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,單位圓與周期性

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應用

分析：（1）利用任意角的三角函數(shù)定義可得sinθ，cosθ，再利用二倍角的正切公式和兩角和的正切公式，計算即可得出；
（2）利用向量的數(shù)量積運算法則、平行四邊形的面積計算公式可得S_四+

OA

•

OC

的=sinθ+cosθ+1，再利用兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的性質即可得出．

解答： 解：（1）∵B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=θ，
∴tanθ=

4 5

- 3 5

=-

4

3

∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

2×(- 4 3 )

1- 16 9

=

24

7

，
則tan（2θ+

π

4

）=

tan2θ+1

1-tan2θ

=

1+ 24 7

1- 24 7

=-

31

17

；
（2）S_四=|OA||OB|sin（π-θ）=sinθ，
∵

OA

=（1，0），

OB

=（cosθ，sinθ），
∴

OC

=

OA

+

OB

=（1+cosθ，sinθ），
∴

OA

•

OC

=1+cosθ，
∴S_四+

OA

•

OC

=sinθ+cosθ+1=

2

sin（θ+

π

4

）+1（0＜θ＜π），
∵

π

4

＜θ+

π

4

＜

5π

4

，
∴-

2

2

＜sin（θ+

π

4

）≤1，
∴0＜S_四+

OA

•

OC

的≤

2

+1．

點評：本題綜合考查了任意角的三角函數(shù)定義、二倍角公式、兩角和差的正切公式、向量的數(shù)量積運算法則、平行四邊形的面積計算公式、兩角和的正弦公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．