Question

若點O是線段BC外一點，點P是平面上任意一點，且

OP

=λ

OB

+μ

OC

（λ，μ∈R），則下列說法正確的有

 

①若λ+μ=1且λ＞0，則點P在線段BC的延長線上；
②若λ+μ=1且λ＜0，則點P在線段BC的延長線上；
③若λ+μ＞1，則點P在△OBC外；
④若λ+μ＜1，則點P在△OBC內．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：根據向量的減法運算，向量數乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及相反向量的概念即可判斷出每一項的正誤．

解答： 解：因為

OP

=λ

OB

+μ

OC

(λ，μ∈R)
①若λ+μ=1且λ＞0，

OP

=λ

OB

+(1-λ)

OC

=

OC

+λ(

OB

-

OC

)故

OP

-

OC

=λ(

OB

-

OC

)即

CP

=λ

CB

又λ＞0則點P在線段BC或其反向延長線上，錯誤；
②若λ+μ=1且λ＜0，同上可得

CP

=λ

CB

而λ＜0則點P在線段BC的延長線上，正確；
③若λ+μ＞1，

OP

=λ

OB

+(1-λ)

OC

+(λ+μ-1)

OC

，同上可得

CP

=λ

CB

+(λ+μ-1)

OC

，當λ+μ＞1時，λ+μ-1＞0根據向量加法的平行四邊形法則可以看出則點P在△OBC外，正確；
④若λ+μ＜1，不防令λ=0，μ=-1則

OP

=-

OC

，很顯然此時點P在線段CO的延長線上，不在△OBC內，錯誤．
所以說法正確的有：②③．
故答案為：②③．

點評：考查向量的減法運算，向量數乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及相反向量的概念．