Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=λa_n-1+1，（λ≠1，n≥2且n∈N*）．
（Ⅰ）求證：當λ≠0時，數列{an+

1

λ-1

}為等比數列；
（Ⅱ）如果λ=2，求數列{na_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）如果[a_n]表示不超過a_n的最大整數，當λ=

2

+1時，求數列{[（λ-1）a_n]}的通項公式．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的概念及簡單表示法,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）當λ≠0，1時，設bn=an+

1

λ-1

，由于a_n=λa_n-1+1，可得當n≥2時，

bn

bn-1

=λ為常數．即可證明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 λ=2時，{a_n+1}為首項為2，公比為2的是等比數列，可得a_n+1=2ⁿ，即na_n=n•2ⁿ-n．再利用“錯位相減法”、等差數列與等比數列的前n項和公式即可得出；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：a_n=

λn-1

λ-1

．設c_n=（λ-1）a_n=λⁿ-1=(

2

+1)n-1，由二項式定理可知：(

2

+1)n+(-

2

+1)n為整數，即可得出．

解答： （Ⅰ）證明：當λ≠0，1時，設bn=an+

1

λ-1

，
∵a_n=λa_n-1+1，
∴當n≥2時，

bn

bn-1

=

an+ 1 λ-1

an-1+ 1 λ-1

=

λan-1+1+ 1 λ-1

an-1+ 1 λ-1

=λ為常數．
∵a1+

1

λ-1

=

λ

λ-1

≠0，
∴數列{an+

1

λ-1

}為等比數列，首項為

λ

λ-1

，公比為λ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 λ=2時，{a_n+1}為首項為2，公比為2的是等比數列，
∴a_n+1=2ⁿ，
na_n=n•2ⁿ-n．
設A_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
則2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹．
相減得-An=2+22+23+…+2n-n×2n+1=

2×(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴An=(n-1)×2n+1+2．
設B_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
則S_n=A_n-B_n=(n-1)×2n+1+2-

n(n+1)

2

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：an=

λ

λ-1

•λn-1-

1

λ-1

=

λn-1

λ-1

．
設c_n=（λ-1）a_n=λⁿ-1=(

2

+1)n-1，
由二項式定理可知：(

2

+1)n+(-

2

+1)n為整數，
∴[c_n]=

( 2 +1)n+(- 2 +1)n-2，n=2k ( 2 +1)n+(- 2 +1)n-1，n=2k-1

，（k∈N^*）．
∴[c_n]=(

2

+1)n+(-

2

+1)n-

3

2

-

(-1)n

2

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、“取整函數的性質”、二項式定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．