Question

13．記函數f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{x-2}}}$的定義域為集合A，則函數g（x）=$\sqrt{9-{x^2}}$的定義域為集合B，
（1）求A∩B和A∪B
（2）若C={x|p-2＜x＜2p+1}，且C⊆A，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先分別求出函數f（x）、g（x）的定義域A、B，再利用交集、并集的定義可求出A∩B和A∪B．
（2）由C⊆A，分類討論，即可求出實數p的取值范圍．

解答 解：（1）∵x-2＞0，解得x＞2，∴函數f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{x-2}}}$的定義域為集合A={x|x＞2}．
∵9-x²≥0，解得-3≤x≤3，
∴函數g（x）=$\sqrt{9-{x^2}}$的定義域為集合B={x|-3≤x≤3}．
∴A∩B={x|x＞2}∪{x|-3≤x≤3}=（2，3]，
A∪B={x|x＞2}∪{x|-3≤x≤3}=[-3，+∞）．
（2）∵C={x|p-2＜x＜2p+1}，且C⊆A，
∴C=∅，p-2≥2p+1，
∴p≤-3；
C≠∅，$\left\{\begin{array}{l}{p-2＜2p+1}\\{p-2≥2}\end{array}\right.$，
∴p≥4，
綜上所述，p≤-3或p≥4．

點評 本題考查了函數的定義域和集合間的關系，知道對數函數的真數大于0和被開方數大于等于0以及理解集合間的關系是解決此問題的關鍵．