Question

2．已知公差不為0的等差數列{a_n}中，a₁=7，且a₂+1，a₄+1，a₈+1成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足b_n=$\frac{3}{a_n}$，求適合方程b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=$\frac{45}{32}$的正整數n的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，由a₂+1，a₄+1，a₈+1，
得（3+3d）²=（3+d）（3+7d），
解得d=3或d=0（舍），
故a_n=a₁+（n-1）d=7+3（n-1）=3n+4．
（2）由（1）知${b_n}=\frac{3}{3n-1}$，${b_n}{b_{n+1}}=\frac{9}{{（{3n-1}）（{3n+2}）}}=3（{\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}}）$，${b_1}{b_2}+{b_2}{b_3}+…+{b_n}{b_{n+1}}=3（{\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}}）=3（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}}）=\frac{9n}{6n+4}$，
依題有$\frac{9n}{6n+4}=\frac{45}{32}$解得n=10．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．