Question

14．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且2a₅-a₃=13，S₄=16．
（1）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（2）設數列{b_n}滿足b_n=（-1）ⁿa_n，且{b_n}的前n項和為T_n；
①求數列{b_n}的前n項和T_n；
②若對一切正整數n，不等式λT_n＜[a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n]•2^n-1恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由2a₅-a₃=13，S₄=16，求出首項和公差，再根據等差數列的求和公式即可得到，
（2）①當n為偶數時，當n為奇數時，分別求出前n項和，
②當n為偶數時，由λT_n＜[a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n]•2^n-1，得λ•2k＜4^k，構造函數設f（k）=$\frac{{4}^{k}}{2k}$，求出b_n的最大值，代入2λ-λ²＞（2n-3）（2-a_n）求解得答案．利用函數的單調性求出函數最小值，當n為奇數時，從而得到λ＞-4^k，求出函數的最大值，即可求出實數λ的取值范圍

解答 解：（1）設數列{a_n}的公差為d．
因為2a₅-a₃=13，S₄=16，
所以4a1+6d=16．a1+2d=13，解得a₁=1，d=2，
所以a_n=2n-1，S_n=n²．
（2）①當n為偶數時，設n=2k，k∈N*，
則T_2k=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a_2k-a_2k-1）=2k．
當n為奇數時，設n=2k-1，k∈N*，
則T_2k-1=T_2k-（-1）^2ka_2k=2k-（4k-1）=1-2k．
所以Tn=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為偶數}\\{-n，n為奇數}\end{array}\right.$
②當n為偶數時，設n=2k，k∈N*，
則T_2k=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）+…+（a_2k-a_2k-1）=2k．
代入不等式λT_n＜[a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n]•2^n-1，得λ•2k＜4^k，從而λ＜$\frac{{4}^{k}}{2k}$．
設f（k）=$\frac{{4}^{k}}{2k}$，則f（k+1）-f（k）=$\frac{{4}^{k+1}}{2k+2}$-$\frac{{4}^{k}}{2k}$=$\frac{{4}^{k-1}（6k-2）}{k（k+1）}$．
因為k∈N*，所以f（k+1）-f（k）＞0，所以f（k）是遞增的，
所以f（k）_min=2，
所以λ＜2．
當n為奇數時，設n=2k-1，k∈N*，
則T_2k-1=T_2k-（-1）^2ka_2k=2k-（4k-1）=1-2k．
代入不等式λT_n＜[a_n+1+（-1）ⁿ⁺¹a_n]•2^n-1，得λ•（1-2k）＜（2k-1）4^k，
從而λ＞-4^k．
因為k∈N*，所以-4^k的最大值為-4，所以λ＞-4．
綜上，λ的取值范圍為-4＜λ＜2．

點評 本題考查了遞推關系、等差數列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．