Question

16．已知邊長為$2\sqrt{3}$的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對角線BD折成二面角為120°的四面體，則四面體的外接球的表面積為28π．

Answer 1

分析 取BD的中點E，連AE，CE，外接球球心在面ACE內，OG⊥CE，OE垂直平分AC，其中CG=2GE=2，∠CEA=120°，可得四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接球的表面積．

解答 解：如圖1，取BD的中點E，連AE，CE．
由已知條件，面ACE⊥面BCD．則外接球球心在面ACE內，
如圖2，OG⊥CE，OE垂直平分AC，其中CG=2GE=2，∠CEA=120°
∴$OG=GE•tan6{0}^{°}=\sqrt{3}$，
得$R=OC=OA=\sqrt{7}$，外接球的表面積為28π．
故答案為：28π．

點評 本題考查四面體的外接球的表面積，考查學生的計算能力，求出四面體的外接球的半徑是關鍵．