Question

8．在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=4，EF=3，AD=AE=BE=2，G是BC的中點．
（1）求證：BD⊥EG；
（2）求二面角G-DE-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據題目條件先證明EB、EA、EF兩兩相互垂直，然后以E為原點，以EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，運用向量數量積等于0，從而證明BD⊥EG；
（2）在（1）的基礎上，求出二面角的兩個半平面的法向量，利用法向量求二面角的平面角的余弦值．

解答 解：（1）證∵EF⊥平面ABE，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE，
又AE⊥EB，
∴FE，BE，AE兩兩垂直．
以點E為坐標原點，FE，BE，AE分別為X，Y，Z軸
建立如圖所示的空間直角坐標系．
由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），
C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），
G（2，2，0）．
∴$\overrightarrow{EG}=（2，2，0）$，$\overrightarrow{BD}=（-2，2，2）$，
∴$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{EG}=-2×2+2×2+2×0=0$，
∴BD⊥EG．
（2）由已知得$\overrightarrow{EB}=（2，0，0）$是平面DEF的法向量．
設平面DEG的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{ED}=（0，2，2），\overrightarrow{EG}=（2，2，0）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，-1，1）$．
設平面DEG與平面DEF所成銳二面角的大小為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{EB}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴平面EDG與平面DEF所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了，直線與平面垂直的性質，考查了運用平面法向量求二面角的三角函數值，解答此題的關鍵是正確建立空間直角坐標系，是中檔題