Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，上頂點為（0，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過原點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C交于A，B兩點，求證：點O到直線AB的距離為定值．

Answer 1

分析 （I）由已知可得$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，b=1，進而可得a²=3，可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理及點到直線公式，可證得結論．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，上頂點為（0，1）．
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，b=1，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$=$\frac{6}{9}$，
解得：a²=3，
故橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．                                            …（4分）
證明：（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①若k存在，則設直線AB：y=kx+m．…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
則x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$                                 …（6分）
由OA⊥OB可知x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）=0…（8分）
代入，得4m²=3k²+3
原點到直線AB的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（10分）
②當AB的斜率不存在時，|x₁|=|y₁|，可得|x₁|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=d，依然成立． …（11分）
綜上，點O到直線AB的距離為定值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．                        …（12分）

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程，橢圓的性質，點到直線的距離，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．