Question

16．已知△ABC的三個頂點的坐標為A（-1，0）、B（4，0）、C（0，c）．
（1）若$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，求c的值；
（2）當c滿足（1）問題的結論時，求△ABC的重心坐標G（x，y）．

Answer 1

分析 （1）先求出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，根據$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$便有$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，進行數量積的運算即可求出c．
（2）設△ABC的重心坐標為（x，y），則有三角形的重心坐標公式可得 x=$\frac{-1+4}{3}$，y=$\frac{20}{3}$，由此求得△ABC的重心坐標．

解答 解：（1）∵A（-1，0）、B（4，0）、C（0，c），
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，c），$\overrightarrow{BC}$=（-4，c），
∵$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，即-4+c²=0，
解得c=±2；
（2）設△ABC的重心坐標為G（x，y），
當c=2時，則有三角形的重心坐標公式可得 x=$\frac{-1+4+0}{3}$=1，y=$\frac{0+0+2}{3}$=$\frac{2}{3}$，
當c=-2時，則有三角形的重心坐標公式可得 x=$\frac{-1+4+0}{3}$=1，y=$\frac{0+0-2}{3}$=-$\frac{2}{3}$，
故△ABC的重心坐標為 G（1，$\frac{2}{3}$）或（1，-$\frac{2}{3}$）．

點評 考查兩非零向量垂直的充要條件，以及向量數量積的坐標運算．考查三角形的重心坐標公式的應用，屬于基礎題．