Question

11．已知等差數列{a_n}首項為2，公差為2，等比數列{b_n}首項為1，公比為2．
（1）求{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）求數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列與等比數列的通項公式可求{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）利用裂項法可得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），累加可求求數列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和S_n．

解答 解：（1）∵等差數列{a_n}的首項為2，公差為2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n；
又等比數列{b_n}的首項為1，公比為2，
∴b_n=2^n-1；
（2）∵a_n=2n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點評 本題考查數列的求和，考查等差數列與等比數列的通項公式的應用，突出考查裂項法求和，屬于中檔題．