Question

7．定義在（-1，1）上的函數f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…-\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$，設F（x）=f（x+4），且F（x）的零點均在區間（a，b）內，其中a，b∈z，a＜b，則圓x²+y²=b-a的面積的最小值為（　　）

• A． π
• B． 2π
• C． 3π
• D． 4π

Answer 1

分析 求出函數的導數，判斷函數的單調性，利用函數零點的判斷定理判斷函數的零點，利用函數的周期關系判斷，函數F（x）的零點，求出a，b的關系，即可得到結論．

解答 解：由函數$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$的導數為
f′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹⁵=$\frac{1-（-x）^{2016}}{1+x}$，
∵-1＜x＜1，∴1+x＞0，0≤x²⁰¹⁶＜1，則1-x²⁰¹⁶＞0，
∴f′（x）=$\frac{1-（-x）^{2016}}{1+x}$=$\frac{1-{x}^{2016}}{1+x}$＞0，可得f（x）在（-1，1）上遞增，
∵f（-1）=（1-1）+（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$＜0，f（0）=1＞0
∴函數f（x）在（-1，1）上有唯一零點x₀∈（-1，0）
∵F（x）=f（x+4），得函數F（x）的零點是x₀-4∈（-5，-4），
∵F（x）的零點均在區間（a，b）內，
∴a≤-5且b≥-4，得b-a的最小值為-4-（-5）=1
∵圓x²+y²=b-a的圓心為原點，半徑r=$\sqrt{b-a}$
∴圓x²+y²=b-a的面積的最小值是π．
故選：A

點評 本題主要考查函數零點的判斷和應用，求出函數的導數，判斷函數的單調性，以及利用函數零點的性質判斷函數的零點所在的區間是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．