Question

20．數列{a_n}滿足a₁=1，${a_{n+1}}=3{a_n}+{2^n}$．
（Ⅰ）求證數列$\left\{{{a_n}+{2^n}}\right\}$是等比數列；
（Ⅱ）證明：對一切正整數n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，${a_{n+1}}=3{a_n}+{2^n}$．變形為${a_{n+1}}+{2^{n+1}}=3（{a_n}+{2^n}）$，利用等比數列的定義通項公式即可得出．
（2）由（1）知${a_n}={3^n}-{2^n}$，通過放縮3ⁿ-2ⁿ＞2ⁿ（n≥2），利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 證明：（1）由a₁=1，${a_{n+1}}=3{a_n}+{2^n}$．變形為${a_{n+1}}+{2^{n+1}}=3（{a_n}+{2^n}）$，又a₁+2=3，
∴數列$\left\{{{a_n}+{2^n}}\right\}$是以3為首項，3為公比的等比數列．
（2）由（1）知${a_n}={3^n}-{2^n}$，
又3ⁿ-2ⁿ＞2ⁿ（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$$＜\frac{1}{{2}^{n}}$
故$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$1+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了等比數列的定義通項公式、求和公式、放縮法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．