Question

11．已知函數f（x）=lnx-x-lna，a為常數．
（1）若函數f（x）有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，證明：$\frac{x_1}{x_2}$的值隨a的值增大而增大．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域，函數的導數，判斷函數的單調性，利用函數的零點個數，推出結果．
（2）x₁，x₂是f（x）的兩個零點，通過lnx₁-x₁=lna，lnx₂-x₂=lna，則$a=\frac{x_1}{{{e^{x_1}}}}，a=\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}$，
設$g（x）=\frac{x}{e^x}$，$g'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，利用g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，利用函數g（x）圖象與直線y=a都有兩個交點．橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），結合函數的圖象，利用函數的單調性以及存在性，推出結論．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）.$f'（x）=\frac{1-x}{x}$，
由f'（x）＞0得：0＜x＜1；由f'（x）＜0得：x＞1．
故f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．
要使f（x）有兩個零點，則f（1）＞0，解得：$0＜a＜\frac{1}{e}$．…（5分）
（2）∵x₁，x₂是f（x）的兩個零點，∴lnx₁-x₁=lna，lnx₂-x₂=lna，則$a=\frac{x_1}{{{e^{x_1}}}}，a=\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}$，．
設$g（x）=\frac{x}{e^x}$，$g'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，所以g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，故對任意$a∈（0，\frac{1}{e}）$，函數g（x）圖象與直線y=a都有兩個交點．橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），如下圖：
…（9分）
任取${a_1}，{a_2}∈（0，\frac{1}{e}）$，設a₁＜a₂，則有g（ξ₁）=g（ξ₂）=a₁，0＜ξ₁＜1＜ξ₂，g（η₁）=g（η₂）=a₂，0＜η₁＜1＜η₂，由a₁＜a₂得：g（ξ₁）＜g（η₁），∵g（x）在（0，1）上遞增，∴ξ₁＜η₁，同理得：ξ₂＞η₂，所以$\frac{ξ_1}{ξ_2}＜\frac{η_1}{η_2}$，
故$\frac{x_1}{x_2}$的值隨a的值增大而增大．…（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，構造法以及函數的圖象的應用，考查轉化思想以及計算能力．難度比較大．