Question

18．已知函數f（x）=2klnx，g（x）=x²-2kx（k∈R）
（1）設h（x）=f（x）-g（x），試討論函數h（x）的單調性
（2）設k＞0，若函數y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象在區間（0，+∞）上有唯一交點，試求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數h（x）的導數，通過討論k的范圍判斷函數的單調區間即可；
（2）問題等價于方程h（x）=f（x）-g（x）=0在區間（0，+∞）上有唯一解，根據h（x）的單調性求出k的值即可．

解答 解：（1）函數h（x）=2klnx-x²+2kx的定義域為（0，+∞），----1 分
且h′（x）=-$\frac{2}{x}$（x²-kx-k），--------（2分）
①當k≤0時，對于任意x∈（0，+∞），都有h′（x）＜0，
∴函數h（x）在（0，+∞）單調遞減；-------------------（3分）
②當k＞0時，由h′（x）=0得x₁=$\frac{k-\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，x₂=$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，
∵k＞0，則有x₁＜0＜x₂，∴x₁＜x---------------------（4分）
∴當x∈（0，x₂）時，h′（x）＞0，當x∈（x₂，+∞）時，h′（x）＜0，
∴當k＞0時，函數h（x）在（0，$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$）上單調遞增；
在（$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，+∞）單調遞減．--------------------------5
（2）函數y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象在區間（0，+∞）上有唯一交點，
等價于方程h（x）=0在區間（0，+∞）上有唯一解，-----------------------（6分）
由（1）可知，當k＞0時，函數h（x）在（0，$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$）上單調遞增；
在（$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$，+∞）單調遞減．
∴函數h（x）在x=x₂取得最大值，
∴h（x₂）=0----------------------------------（8分）
即2klnx₂-${{x}_{2}}^{2}$+2kx₂=0-----（*）
又由于h′（x₂）=0，則有${{x}_{2}}^{2}$-kx₂-k=0，代入（*）式，得
2klnx₂+kx₂-k=0-----（**）--------------------------（9分）
令F（x）=2lnx+x-1，（x＞0），
∴F′（x）=$\frac{2}{x}$+1＞0，
則F（x）在（0，+∞）單調遞增，且F（1）=0．-------------------（10分）
∴x₂=1---------------------------（11分）
∴$\frac{k+\sqrt{{k}^{2}+4k}}{2}$=1，解得：k=$\frac{1}{2}$．---------------------（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．