Question

1．已知函數y=f（x）對任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函數f（x）的導函數），則下列不等式成立的是①．
①$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$）
②$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{4}$）
③f（0）＞2f（$\frac{π}{3}$）
④f（0）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 根據條件構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，求函數的導數，利用函數的單調性和導數之間的關系即可得到結論．

解答 解：構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，
則g′（x）=$\frac{1}{{cos}^{2}x}$（f′（x）cosx+f（x）sinx），
∵對任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函數g（x）在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）單調遞增，
則g（-$\frac{π}{3}$）＜g（-$\frac{π}{4}$），即 $\frac{f（-\frac{π}{3}）}{cos（-\frac{π}{3}）}$＜$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{cos（-\frac{π}{4}）}$，
∴$\frac{f（-\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$＜$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，即$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$），故①正確，
g（$\frac{π}{3}$）＞g（$\frac{π}{4}$），即$\frac{f（\frac{π}{3}）}{cos\frac{π}{3}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{cos\frac{π}{4}}$，
∴$\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，即$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{4}$），故②錯誤，
g（0）＜g（$\frac{π}{3}$），即 $\frac{f（0）}{cos0}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{cos\frac{π}{3}}$，
∴f（0）＜2f（$\frac{π}{3}$），故③錯誤，
g（0）＜g（$\frac{π}{4}$），即$\frac{f（0）}{cos0}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{cos\frac{π}{4}}$，
∴f（0）＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，即f（0）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），故④錯誤，
故答案為：①．

點評 本題主要考查函數單調性的應用，利用條件構造函數是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一點的難度．