Question

11．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2sin（${\frac{π}{4}$+x）cos（${\frac{π}{4}$+x），則f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值與最小值之差為3．

Answer 1

分析 利用輔助角公式和兩角和與差的正弦公式對函數解析式進行變形，然后由正弦函數圖象的性質來求其值域．

解答 解：$f（x）=\sqrt{3}sin2x+sin（{\frac{π}{2}+2x}）=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$，
當$x∈[{0\;\;，\;\;\frac{π}{2}}]$時，$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}\;\;，\;\;\frac{7π}{6}}]$，
故$sin（{2x+\frac{π}{6}}）∈[{-\frac{1}{2}\;\;，\;\;1}]$，
即函數f（x）的值域為[-1，2]，
所以f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值與最小值之差為：2-（-1）=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了三角函數的恒等變換，正弦函數的圖象與性質，屬于中檔題．