Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數的零點的個數；

（2）當函數有兩個零點時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）分別討論,,時的單調性,進而判斷零點個數；

（2）由（1）可知時有兩個零點, ,設,由,可得存在,則在上是減函數,在上是增函數,即為最小值,故證明即可.

（1）由題,

當時,在上是增函數

又時,

∴有一個零點

當時,∴無零點

當時在上是增函數

又時,時,

∴在上存在唯一零點

∴在上是減函數,在上是增函數

又時,時,

當時,

∴有兩個零點

當時,,∴

∴

∴有一個零點

當時,

當時,在上無零點

當時

∴

∴在上也無零點

∴在上無零點

綜上：時有兩個零點

或時有一個零點

時無零點

（2）證明：由（1）知,

令,在上是增函數

又,

∴存在,使

∴在上是減函數,在上是增函數

∴

∵

∴

∴

∵

∴

又

∴

∴