Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系上放置一個邊長為1的正方形，此正方形沿軸滾動（向左或向右均可），滾動開始時，點位于原點處，設頂點的縱坐標與橫坐標的函數關系式，，該函數相鄰兩個零點之間的距離為.

（1）寫出的值并求出頂點到的最小運動路徑的長度的值；

（2）寫出函數，，的表達式；并研究該函數除周期外的基本性質（無需證明）.

Answer 1

【答案】（1），；（2）函數，，

奇偶性：偶函數；遞增區間：，；遞減區間，；零點：，.

【解析】

（1）畫出點的運動軌跡，即可得出與的值.

（2）根據所畫的點的運動軌跡，即可寫出函數，，的表達式與函數的基本性質.

（1）點的運動軌跡如圖所示：

因為正方形的周長為4,所以.

當，點運動路徑的長度

（2） 當，時，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

當，時，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即

當，時，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

當，時，其為以為圓心，為半徑的圓在的部分，即.

所以函數，，

由圖可知：

奇偶性：偶函數；遞增區間：，；遞減區間，；零點：，.