Question

10．已知點F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點，點E是該雙曲線的右焦點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于A，B兩點，若$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$＞0，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （1，$\sqrt{2}$+1）
• C． （2，+∞）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 要使$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}＞0$，只需滿足∠AEB為銳角，只需滿足∠AEF＜45°，即|AF|＜|EF|，將此式轉化為關于a、c的不等式，化簡整理即可得到該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：要使$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}＞0$，只需滿足∠AEB為銳角，只需滿足∠AEF＜45°．
在△AEF中，$tan∠AEF=\frac{{|{AE}|}}{{|{EF}|}}=\frac{{\frac{b^2}{a}}}{a+c}＜1$，即c²-ac-2a²＜0，兩邊同除以a²，e²-e-2＜0，
又e＞1，
所以離心率e的取值范圍是（1，2）．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線離心率的范圍，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．