Question

18．已知b＜a＜0，且a，b，2三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，一條光線從點（a，b）射出，經y軸反射與圓（x+4）²+（y-1）²=1相切，則反射光線所在的直線的斜率為（　　）

• A． -$\frac{5}{3}$或-$\frac{3}{5}$
• B． -$\frac{3}{2}$或-$\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{5}{4}$或-$\frac{4}{5}$
• D． -$\frac{4}{3}$或-$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由a，b＞0，可得a，-2，b成等比數列，即有ab=4；討論a，b，-2成等差數列或b，a，-2成等差數列，運用中項的性質，解方程可得a，b，點（-1，-4）關于y軸的對稱點為A′（1，-4），可設反射光線所在直線的方程，利用直線與圓相切的性質即可得出．

解答 解：由b＜a＜0，且a，2，b成等比數列，
即有ab=4，①
若a，b，2成等差數列，可得
a+2=2b，②
由①②可得a=-4，b=-1，不符合題意．
若b，a，2成等差數列，可得
b+2=2a，③
由①③可得，b=-4，a=-1．
點（-1，-4）關于y軸的對稱點為A′（1，-4），
故可設反射光線所在直線的方程為：y+4=k（x-1），化為kx-y-k-4=0．
∵反射光線與圓（x+4）²+（y-1）²=1相切，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|-4k-1-k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
化為24k²+50k+24=0，
∴k=$\frac{4}{3}$或-$\frac{3}{4}$，
故選D．

點評 本題考查等差數列和等比數列的中項的性質，考查了反射光線的性質、直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式、點斜式、對稱點，考查了計算能力，屬于中檔題．