Question

15．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點(diǎn)F（-c，0）（c＞0），作圓x²+y²=$\frac{a^2}{4}$的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 通過雙曲線的特點(diǎn)知原點(diǎn)O為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)，求出PF′的長(zhǎng)度及判斷出PF′垂直于PF，通過勾股定理得到a，c的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，記右焦點(diǎn)為F′，
則O為FF′的中點(diǎn)，
∵$\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OF}$，
即為$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$=2$\overrightarrow{OE}$，
可得E為PF的中點(diǎn)，
∴OE為△FF′P的中位線，
∴PF′=2OE=a，
∵E為切點(diǎn)，
∴OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∵點(diǎn)P在雙曲線上，
∴PF-PF′=2a，
∴PF=PF′+2a=3a，
在Rt△PFF′中，有：PF²+PF′²=FF′²，
∴9a²+a²=4c²，即10a²=4c²，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{10}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求離心率關(guān)鍵就是求三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．