Question

4．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=3，S_n+1=3（S_n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在數列{b_n}中，b₁=9，b_n+1-b_n=2（a_n+1-a_n）（n∈N*），若不等式λb_n＞a_n+36（n-4）+3λ對一切n∈N^*恒成立，求實數λ的取值范圍；
（Ⅲ）令T_n=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$+$\frac{1}{3{a}_{2}-1}$+$\frac{1}{5{a}_{3}-1}$+…+$\frac{1}{（2n-1）{a}_{n}-1}$（n∈N^*），證明：對于任意的n∈N^*，T_n＜$\frac{7}{12}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n+1=3（S_n+1）（n∈N^*）．
得當n≥2時，S_n=3（S_n-1+1）（n∈N^*）．
兩式相減得a_n+1=3a_n，得數列{a_n}是首項為3，公比為3的等比數列，即可．
（Ⅱ）可得$_{n+1}-_{n}=4•{3}^{n}$，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n）+…+（b₂-b₁）+b₁=2•3ⁿ+3，（n∈N⁺）
不等式λb_n＞a_n+36（n-4）+3λ對一切n∈N^*恒成立?
λ＞$\frac{1}{2}+\frac{18（n-4）}{{3}^{n}}$
令f（n）=$\frac{18（n-4）}{{3}^{n}}$+$\frac{1}{2}$，利用單調性實數λ的取值范圍．
（Ⅲ）當n≥2時，（2n-1）a_n-1=（2n-1）•3ⁿ＞2•3ⁿ
即${T}_{n}=\frac{1}{1•3-1}+\frac{1}{3•{3}^{2}-1}+\frac{1}{5•{3}^{3}-1}+…+$$\frac{1}{（2n-1）•{3}^{n}-1}$ $＜\frac{1}{2}+\frac{1}{2•{3}^{2}}+\frac{1}{2•{3}^{3}}+…\frac{1}{2•{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}•\frac{1}{6}-\frac{1}{4•{3}^{n}}＜\frac{7}{12}$

解答 解：（Ⅰ）∵S_n+1=3（S_n+1）（n∈N^*）．
當n≥2時，S_n=3（S_n-1+1）（n∈N^*）．
兩式相減得a_n+1=3a_n
∴數列{a_n}是首項為3，公比為3的等比數列，當n≥2時，${a}_{n}={3}^{n}$．
當n=1時，a₁=3也符合，∴${a}_{n}={3}^{n}，（n∈{N}^{+}）$．
（Ⅱ）將${a}_{n}={3}^{n}，{a}_{n+1}={3}^{n+1}$，代入b_n+1-b_n=2（a_n+1-a_n）（n∈N*），
得$_{n+1}-_{n}=4•{3}^{n}$，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n）+…+（b₂-b₁）+b₁
=4（3^n-1+3^n-2+…+3）+9+9
=2•3ⁿ+3，（n∈N⁺）
∴不等式λb_n＞a_n+36（n-4）+3λ對一切n∈N^*恒成立?
λ＞$\frac{1}{2}+\frac{18（n-4）}{{3}^{n}}$
令f（n）=$\frac{18（n-4）}{{3}^{n}}$+$\frac{1}{2}$，則f（n+1）=$\frac{18（n-3）}{{3}^{n+1}}+\frac{1}{2}$，
$f（n+1）-f（n）=\frac{2（9-2n）}{{3}^{n-1}}$
∴當n≤4時，f（n）單調遞增，當n≥5時，f（n）單調遞減，
故a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅＞a₆＞a₇…
∴$f（n）_{max}=f（5）=\frac{31}{54}$，故$λ＞\frac{31}{54}$
∴實數λ的取值范圍為（$\frac{31}{54}$，+∞）．
（Ⅲ）證明：當n=1時，T₁=$\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}＜\frac{7}{12}$
當n≥2時，（2n-1）a_n-1=（2n-1）•3ⁿ＞2•3ⁿ
∴$\frac{1}{（2n-1）{a}_{n}-1}＜\frac{1}{2•{3}^{n}}，（n≥2）$
∴${T}_{n}=\frac{1}{1•3-1}+\frac{1}{3•{3}^{2}-1}+\frac{1}{5•{3}^{3}-1}+…+$$\frac{1}{（2n-1）•{3}^{n}-1}$
    $＜\frac{1}{2}+\frac{1}{2•{3}^{2}}+\frac{1}{2•{3}^{3}}+…\frac{1}{2•{3}^{n}}$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}•\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}•\frac{1}{6}-\frac{1}{4•{3}^{n}}＜\frac{7}{12}$
故對于任意的n∈N^*，T_n＜$\frac{7}{12}$．

點評 本題考查了數列的遞推式、數列的含參問題、數列的單調性，考查了數列的放縮法，屬于中檔題．