Question

12．已知直線l的方程為（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．
（1）求證：直線l恒過定點；
（2）當m變化時，求點P（3，1）到直線l的距離的最大值；
（3）若直線l分別與x軸、y軸的負半軸交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）直線l的方程為（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化為：m（-x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y+3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，解出即可得出直線l經過定點．
（2）當m變化時，PQ⊥直線l時，點P（3，1）到直線l的距離的最大．
（3）由于直線l經過定點Q（-1，-2）．直線l的斜率k存在且k≠0，因此可設直線l的方程為y+2=k（x+1），可得與x軸、y軸的負半軸交于A（$\frac{2-k}{k}$，0），B（0，k-2）兩點，$\frac{2-k}{k}$＜0，k-2＜0，解得k＜0．可得S_△OAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{k-2}{k}$×（2-k）=$\frac{1}{2}$$[4+（-k+\frac{4}{-k}）]$，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 （1）證明：直線l的方程為（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．
化為：m（-x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y+3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
則直線l經過定點Q（-1，-2）．
（2）解：當m變化時，PQ⊥直線l時，
點P（3，1）到直線l的距離的最大=$\sqrt{（-1-3）^{2}+（-2-1）^{2}}$=5．
（3）解：由于直線l經過定點Q（-1，-2）．直線l的斜率k存在且k≠0，
因此可設直線l的方程為y+2=k（x+1），
可得與x軸、y軸的負半軸交于A（$\frac{2-k}{k}$，0），B（0，k-2）兩點，
$\frac{2-k}{k}$＜0，k-2＜0，解得k＜0．
∴∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{k-2}{k}$×（2-k）=$\frac{1}{2}$$[4+（-k+\frac{4}{-k}）]$≥2+$\frac{1}{2}×2\sqrt{（-k）•\frac{4}{-k}}$=4，當且僅當k=-2時取等號．
此時直線l的方程為：y+2=-2（x+1），化為：2x+y+4=0．

點評 本題考查了直線系、點斜式、基本不等式的性質、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．