Question

11．某哨所接到位于正西方向、正東方向兩個觀測點的報告，正東方向觀測點聽到炮彈爆炸聲的時間比正西方向觀測點晚4s．己知兩個觀測點到哨所的 距離都是1020m．
（1）爆炸點在怎樣的曲線上，為什么？
（2）已知，哨所正北方向也有一個觀測點，它到哨所的距離也是1020m，哨所接到報告知道，該觀測點與正西方向觀測點同時聽到爆炸聲，試確定爆炸點的位置．
（約定：觀測點均在同一平面上，哨所和觀測點均視為不計大小的點，聲音傳播的速度為340m/s）

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的定義進行判斷；
（2）以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系．設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020），P（x，y）為巨響為生點，由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，依題意能求出雙曲線方程，從而確定該巨響發生的位置．

解答 解：（1）設P（x，y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=-x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|-|PA|=340×4=1360
由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線如圖，
（2）以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系．設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020），
依題意得a=680，c=1020，∴b²=c²-a²=1020²-680²=5×340²
故雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{68{0}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{5×34{0}^{2}}$=1
用y=-x代入上式，得x=±680$\sqrt{5}$，
∵|PB|＞|PA|，
∴x=-680$\sqrt{5}$，y=680$\sqrt{5}$，故PO=680$\sqrt{10}$m
答：巨響發生在接報中心的西偏北45^°距中心680$\sqrt{10}$m處．

點評 本題考查雙曲線的性質和應用，解題時由題設條件作出圖形，數形結合效果很好．