Question

5．已知數列{a_n}前n項和滿足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$  （n≥2），a₁=1，則a_n=（　　）

• A． n
• B． 2n-1
• C． n²
• D． 2n²-1

Answer 1

分析 利用平方差公式對已知數列遞推式化簡整理，求得$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，根據等差數列的定義判斷出數列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是一個首項為1公差為1的等差數列．求得數列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的通項公式，再由a_n=S_n-S_n-1求得a_n ．

解答 解：由S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，得$（\sqrt{{S}_{n}}+\sqrt{{S}_{n-1}}）（\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}）$=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$，
∴$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}=1$，
∴數列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是一個首項為1公差為1的等差數列．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=n²．
當n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
a₁=1適合上式，
∴a_n=2n-1，
故選：B．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了由數列的前n項和求數列的通項公式，是中檔題．