Question

13．若變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{x-y+2≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$，n=2x+y-2，則 取最大值時，（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）ⁿ二項展開式中的常數項為240．

Answer 1

分析 首先利用約束條件得到可行域，結合n的幾何意義求出其最大值，然后對二項式的通項求常數項．

解答 解：已知得到可行域如圖：n=2x+y-2變形為y=-2x+2+z，當此直線經過圖中B（2，4）時，直線在y軸的截距最大，z最大，所以z 的最大值為2×2+4-2=6，
所以（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）ⁿ二項展開式中的通項為${C}_{6}^{r}（2\sqrt{x}）^{r}（\frac{1}{x}）^{6-r}={2}^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{\frac{3}{2}r-6}$，
當r=4此項為常數項，所以常數項為2⁴${C}_{6}^{4}$=240；
故答案為：240．

點評 本題考查了簡單線性規劃問題與二項式定理的運用；關鍵是利用數形結合正確求出n，然后由二項展開式通項求常數項．