Question

1．已知函數f（x）=lnx-mx+m，（m∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若函數f（x）≤0對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導，對導函數中m進行分類討論，由此得到單調區間．
（2）借助（1），對m進行分類討論，由最大值小于等于0，構造新函數，轉化為最值問題．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-m=$\frac{1-mx}{x}$
若m≤0，則f'（x）＞0（x＞0）恒成立；
若m＞0，當f′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{m}$，當f′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{m}$，
此時f（x）的單調遞增區間為（0，$\frac{1}{m}$），單調遞減區間為（$\frac{1}{m}$，+∞）
綜上m≤0，f（x）在（0，+∞）遞增；
m＞0，f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）遞增，在（$\frac{1}{m}$，+∞）遞減．
（2）由（1）知：當m≤0時，f（x）在（0，+∞）上遞增，f（1）=0，顯然不成立；
當m＞0時，只需f（x）_max=f（$\frac{1}{m}$）=m-1-lnm，
只需m-lnm-1≤0即可，令g（m）=m-lnm-1，
則g′（m）=1-$\frac{1}{m}$，
得函數g（m）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
∴g（m）_min=g（1）=0，g（m）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
也就是m-lnm-1≥0對m∈（0，+∞）恒成立，
∴m-lnm-1=0，
解得m=1．

點評 本題考查函數求導，分類討論，構造新函數，將不等式轉化為最值問題，屬于中檔題．