Question

15．（I）已知直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標分別是（-4，2），（3，1），求點C的坐標．
（II）已知點A（1，1），B（2，2），點P在直線y=$\frac{1}{2}$x上，求|PA|²+|PB|²取得最小值時P點的坐標．

Answer 1

分析 （I）求出BC所在的直線方程為3x+y-10=0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{3x+y-10=0}\end{array}\right.$，得點C的坐標；
（II）設P（2t，t）），利用配方法，可得|PA|²+|PB|²取得最小值時P點的坐標．

解答 解：（I）點A關于直線y=2x對稱的點為（4，-2），且點A關于y=2x對稱的點在BC上，
于是BC所在的直線方程為3x+y-10=0，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{3x+y-10=0}\end{array}\right.$，得點C的坐標為（2，4）．
（II）設P（2t，t）），則
|PA|²+|PB|²=（2t-1）²+（t-1）²+（2t-2）²+（t-2）²=10t²-14t+10，
當t=$\frac{7}{10}$時，|PA|²+|PB|²取得最小值，即P（$\frac{7}{5}$，$\frac{7}{10}$）．

點評 本題考查了角平分線的性質、垂直平分線的性質、直線方程，考查兩點間距離公式的運用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．