Question

若直線（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0與不等式組

x+y-7＜0 x-3y+1＜0 3x-y-5＞0

表示的平面區域有公共點，則實數λ的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-

  13

  7

  ）∪（9，+∞）
• B、，（-

  13

  7

  ，1）∪（9，+∞）
• C、（1，9）
• D、（-∞，-

  13

  7

  ）

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：不等式的解法及應用

分析：作出不等式組對應的平面區域，利用線性規劃的知識即可得到結論．

解答： 解：（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0等價為λ（3x-y-6）+（x+y+6）=0，
則

3x-y-6=0 x+y+6=0

，解得

x=0 y=-6

，即直線過定點D（0，-6）
作出不等式組對應的平面區域如圖：其中A（2，1），B（5，2），
此時AD的斜率k=

-6-1

0-2

=

7

2

，BD的斜率k=

-6-2

0-5

=

8

5

，
當直線過A時，λ=9，
當直線過B時，λ=-

13

7

，
則若直線（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0與不等式組

x+y-7＜0 x-3y+1＜0 3x-y-5＞0

表示的平面區域有公共點，
則滿足直線的斜率

8

5

≤

3λ+1

λ-1

≤

7

2

，
解得λ∈（-∞，-

13

7

）∪（9，+∞），
故選：A

點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．