Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AA₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁B₁⊥B₁C₁，AA₁=8，A₁B₁=6，A₁C₁=2

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，則球O的體積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁B₁⊥B₁C₁，所以三棱柱的底面是直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，側(cè)面A₁ACC₁，經(jīng)過(guò)球的球心，球的直徑是其對(duì)角線的長(zhǎng)，求出球的半徑，即可求出球O的體積．

解答： 解：因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁B₁⊥B₁C₁，所以三棱柱的底面是直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，側(cè)面A₁ACC₁，經(jīng)過(guò)球的球心，球的直徑是其對(duì)角線的長(zhǎng)，
因?yàn)锳A₁=8，A₁C₁=2

34

，所以AC₁=

64+136

=10

2

，所以球的半徑為：5

2

，
所以球O的體積為

4

3

π×(5

2

)3=

1000 2

3

π．
故答案為：

1000 2

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球O的體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出球的半徑是關(guān)鍵．