Question

已知圓心為O的圓內有一條弦BC，其長為2，動點為A，在圓上運動，且∠BAC=45°，若∠ABC為銳角，則

OA

•

BC

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：首先建立恰當的直角坐標系，根據直角坐標系確定各點的坐標，進一步利用向量的數量積轉化成利用定義域求三角函數的值域．

解答： 解：如圖所示：|BC|=2，∠BOC=90°，∠CAB=45°，
由于∠B為銳角，則：點A只能在左半圓上，
故設：A（

2

cosθ，

2

sinθ）（

π

2

＜θ＜

3π

2

）
B（

2

，0），C（0，

2

），

OA

=（

2

cosθ，

2

sinθ），

BC

=（-

2

，

2

），
所以：

OA

•

BC

=-2cosθ+2sinθ=2

2

sin（θ-

π

4

）
由于

π

2

＜θ＜

3π

2

，
所以：-

2

2

＜sin（θ-

π

4

）≤1，
則：-2＜

OA

•

BC

≤2

2

．
故答案為：（-2，2

2

]．

點評：本題考查的知識要點：向量的數量積，三角函數的恒等變換，利用正弦型函數的定義域求值域．