Question

9．設函數f（x）=|x+$\frac{4}{a}$|+|x-a|（a＞0）．
（1）證明：f（x）≥4；
（2）若f（3）＜5，實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值三角不等式，結合基本不等式，即可證明；
（2）若f（3）＜5，即|3+$\frac{4}{a}$|+|3-a|＜5，進而$\frac{4}{a}$-2＜a-3＜2-$\frac{4}{a}$，即可求出實數a的取值范圍．

解答 （1）證明：f（x）=|x+$\frac{4}{a}$|+|x-a|≥|$\frac{4}{a}$+a|=|$\frac{4}{a}$|+|a|≥2$\sqrt{|\frac{4}{a}||a|}$=4；
（2）解：若f（3）＜5，即|3+$\frac{4}{a}$|+|3-a|＜5，
∵a＞0，∴3+$\frac{4}{a}$+|3-a|＜5，
∴|3-a|＜2-$\frac{4}{a}$，
∴$\frac{4}{a}$-2＜a-3＜2-$\frac{4}{a}$，
∴1＜a＜4．

點評 本題考查絕對值三角不等式，基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．