Question

4．已知函數f（x）=sin2x-2sin²x．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{8}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入計算即可求出函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）設t=2x+$\frac{π}{4}$，由x的范圍求出t的范圍，根據y=sint的增減性求出函數f（x）的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin2x-2sin²x=sin2x-1+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1，
∵ω=2，
∴T=π；
則函數f（x）的最小正周期為π；
（Ⅱ）設t=2x+$\frac{π}{4}$，當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$]時，-$\frac{π}{4}$≤t≤π，
∵函數y=sint在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數，在[$\frac{π}{2}$，π]上為減函數，
則當t=-$\frac{π}{4}$時，sint有最小值為-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；當t=$\frac{π}{2}$時，sint有最大值為1，
則y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$]上的值域為[-2，$\sqrt{2}$-1]．

點評 此題考查了三角函數中的恒等變換應用，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．