Question

13．如圖，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，長軸長為2$\sqrt{2}$，左、右焦點分別為F₁，F₂，上頂點為A．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點P為橢圓上一點，且∠F₁F₂P=90°，求△F₁F₂P的面積；
（3）過點A作斜率為k₁，k₂的兩條直線，分別交橢圓于D，E兩點，若D，E兩點關于原點對稱，求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸，2a=2$\sqrt{2}$，則a=$\sqrt{2}$，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，c=1，由b²=a²-c²=1，則橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由PF₂⊥F₁P，P點坐標為（1，±$\frac{\sqrt{2}}{2}$），△F₁F₂P的面積S=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨y丨=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）設D（x₁，y₁），E（-x₁，-y₁），由直線AD的斜率k₁=$\frac{{y-y}_{1}}{x-{x}_{1}}$=$\frac{1-{y}_{1}}{0-{x}_{1}}$，直線AE的斜率k₂=$\frac{y+{y}_{1}}{x+{x}_{1}}$=$\frac{1+{y}_{1}}{{x}_{1}}$，y₁²=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$，k₁•k₂=$\frac{1-{y}_{1}}{0-{x}_{1}}$•$\frac{1+{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{1-{y}_{1}^{2}}{{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，即可求得k₁k₂的值．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸，2a=2$\sqrt{2}$，則a=$\sqrt{2}$，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，
由b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由∠F₁F₂P=90°，
∴PF₂⊥F₁P，
則當x=c=1時，解得：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴P點坐標為（1，±$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
由三角形的面積公式可知：△F₁F₂P的面積S=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨•丨y丨=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△F₁F₂P的面積$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）點A（0，1），設D（x₁，y₁），E（-x₁，-y₁），
則y₁²=1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$，
由直線AD的斜率k₁=$\frac{{y-y}_{1}}{x-{x}_{1}}$=$\frac{1-{y}_{1}}{0-{x}_{1}}$，直線AE的斜率k₂=$\frac{y+{y}_{1}}{x+{x}_{1}}$=$\frac{1+{y}_{1}}{{x}_{1}}$，
∴k₁•k₂=$\frac{1-{y}_{1}}{0-{x}_{1}}$•$\frac{1+{y}_{1}}{{x}_{1}}$=-$\frac{1-{y}_{1}^{2}}{{x}_{1}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
k₁k₂的值-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查焦點三角形的面積公式，考查通徑的求法，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．