Question

8．已知函數f（x）=lnx-a（x-1），其中a＞0．
（Ⅰ）若函數f（x）在（0，+∞）上有極大值0，求a的值；（提示：當且僅當x=1時，lnx=x-1）；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x-1）+$\frac{a}{x}$（0＜x≤3），其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）討論并求出函數f（x）在區間$[\frac{1}{e}，e]$上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求f（x）的導數，討論導數的正負，可得f（x）的單調區間，利用函數f（x）在（0，+∞）上有極大值0，即可求a的值；
（Ⅱ）切線的斜率即為函數在切點處的導數，讓f′（x₀）≤$\frac{1}{2}$恒成立即可，再由不等式恒成立時所取的條件得到實數a范圍，即得實數a的最小值．
（Ⅲ）分類討論，利用函數的單調性，結合函數的定義域，求出函數f（x）在區間[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$
當x∈$（0，\frac{1}{a}）$時，f'（x）＞0，當x∈$（\frac{1}{a}，+∞）$時，f'（x）＜0
故函數f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上單調遞增，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上單調遞減，
因此函數f（x）在 （0，+∞）上有極大值$f（\frac{1}{a}）=-lna-1+a=0$
∴lna=a-1，解得a=1…（5分）
（Ⅱ）$F（x）=lnx+\frac{a}{x}，x∈（0，3]$，于是有$k=F'（{x_0}）=\frac{{{x_0}-a}}{{{x_0}^2}}≤\frac{1}{2}$在（0，3]上恒成立，所以$a≥{（-\frac{1}{2}{x_0}^2+{x_0}）_{max}}$，當x₀=1時，$-\frac{1}{2}{x_0}^2+{x_0}$取最大值$\frac{1}{2}$，所以$a≥\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$…（9分）
①若$\frac{1}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e}$，則當$x∈[\frac{1}{e}，e]$時，有f'（x）≥0，∴函數f（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上單調遞增，則f（x）_max=f（e）=1-ea+a．
②若$\frac{1}{e}＜\frac{1}{a}＜e$，即$\frac{1}{e}＜a＜e$，則函數f （x）在 $（\frac{1}{e}，\frac{1}{a}）$上單調遞增，在$（\frac{1}{a}，e）$上單調遞減，∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{a}）=-lna-1+a$．
③若$\frac{1}{a}≤\frac{1}{e}$，即a≥e，則當$x∈[\frac{1}{e}，e]$時，有f'（x）≤0，函數f （x）在$[\frac{1}{e}，e]$上單調遞減，則$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{e}）=-1-\frac{a}{e}+a$．
綜上得，當$0＜a≤\frac{1}{e}$時，f（x）_max=1-ea+a；當$\frac{1}{e}＜a＜e$時，f（x）_max=-lna-1+a；當a≥e時，$f{（x）_{max}}=-1-\frac{a}{e}+a$．…（14分）

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性與極大值，考查分類討論的數學思想．同時考查利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，不等式恒成立時所取的條件．