Question

3．如圖，已知四邊形ABCD為菱形，且∠A=60°，E，F分別為AB，AD的中點，現將四邊形EBCD沿DE折起至EBHD．

（Ⅰ）求證：EF∥平面ABH；
（Ⅱ）若平面EBHD⊥平面ADE，求二面角B-AH-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AH中點G，連接BG，FG，證明：BEFG為平行四邊形，因此EF∥BG，即可證明EF∥平面ABH；
（Ⅱ）若平面EBHD⊥平面ADE，建立直角坐標系，以E為坐標原點，以AE為x軸，DE為y軸，求出平面的法向量，即可求二面角B-AH-D的平面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：取AH中點G，連接BG，FG，則
因為E為AB的中點，
四邊形ABCD為菱形，
所以BE平行且等于$\frac{1}{2}$HD，
又因為FG為三角形ABH的中位線，所以FG平行且等于$\frac{1}{2}$HD
故BE平行且等于FG，即BEFG為平行四邊形，
因此EF∥BG，
因為EF?平面ABH，BG?平面ABH
所以EF∥平面ABH；
（Ⅱ）解：因為∠A=60°，所以DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
故翻折之后BE⊥ED，AE⊥ED，
因此∠BED為二面角A-DE-H的平面角，
故∠BED=90°．因此BE⊥AE．
建立直角坐標系，以E為坐標原點，以AE為x軸，DE為y軸，且設菱形邊長為2，
則 A（1，0，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），B（0，0，1），H（0，$\sqrt{3}$，2）
因此，$\overrightarrow{AB}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AH}$=（-1，$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{DH}$=（0，0，2）
設平面ABH的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-x+z=0}\\{-x+\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$
取$\overrightarrow{m}$=（-3，$\sqrt{3}$，3）．
同理，平面ADH的法向量為$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，0）．
于是，cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-9+3}{\sqrt{9+3+9}•\sqrt{9+3}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
由題知，所求二面角為鈍角，故二面角B-AH-D的平面角的余弦值為-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查二面角B-AH-D的平面角的余弦值，考查向量方法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．