Question

13．a，b，c是△ABC的三條邊長，滿足a⁴+b⁴=c⁴，則△ABC的形狀為（　　）

• A． 銳角三角形
• B． 直角三角形
• C． 鈍角三角形
• D． 不確定

Answer 1

分析 由題意可得 （a²+b²）²-c⁴ =2a²b²＞0，△ABC中，由余弦定理可得 cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，可得角C 為銳角，再根據c邊為最大邊，可得角C 為△ABC的最大角，從而得出結論．

解答 解：∵△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a⁴+b⁴=c⁴，
∴（a²+b²）²=a⁴+b⁴ +2a²b²=c⁴+2a²b²．
∴（a²+b²）²-c⁴ =2a²b²＞0．
又∵（a²+b²）²-c⁴ =（a²+b²+c²） （a²+b²-c²），
∴a²+b²-c²＞0．
∴△ABC中，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，
∴角C 為銳角．
∵由題意可得，c邊為最大邊，
∴角C 為△ABC的最大角，
∴△ABC是銳角三角形，
故選：A．

點評 本題主要考查余弦定理的應用，以及三角形中大邊對大角，考查了轉化思想，求得 cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0是解題的關鍵，屬于中檔題．