Question

4．已知函數f（x）=x²+a（x+lnx）+2．
（1）若函數f（x）在閉區間[1，2]上單調遞減，試確定實數a的取值范圍；
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，設h（x）=2x²+ax+a，根據h（x）在[1，2]小于零得到關于a的不等式組，解出即可；
（2）得到函數f（x）+x為單調遞增，令F（x）=f（x）+x，求出函數F（x）的導數，結合二次函數的性質求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數f（x）=x²+a（x+lnx）+2，
可得$f'（x）=2x+a+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}+ax+a}}{x}$，
設h（x）=2x²+ax+a，可知h（x）在[1，2]小于零，
故$\left\{{\begin{array}{l}{h（1）≤0}\\{h（2）≤0}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{2+a+a≤0}\\{2×{2^2}+2a+a≤0}\end{array}}\right.$，∴$a≤-\frac{8}{3}$，
故實數a的取值范圍為$（-∞，-\frac{8}{3}]$；
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，
且f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂恒成立，
即函數f（x）+x為單調遞增，
F（x）=f（x）+x=x²+a（x+lnx）+2+x=x²+（a+1）x+alnx+2，
$F'（x）=2x+（a+1）+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}+（a+1）x+a}}{x}$，設H（x）=2x²+（a+1）x+a，
①當△=（a+1）²-4×2×a≤0，
可得3-2$\sqrt{2}$≤a≤3+2$\sqrt{2}$
②$\left\{{\begin{array}{l}{H（0）＞0}\\{-\frac{（a+1）}{4}＜0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞-1}\end{array}}\right.⇒a＞0$
綜合上述的兩種情況，可得實數a的取值范圍為：[3-2$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及二次函數的性質，是一道中檔題．